Matrices y sus tipos

MATRICES

   

Una matriz es una tabla ordenada de escalares a_ij  de la forma

La matriz anterior se denota también por (a_ij), i  =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por  (a_ij).  

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m ´ n.  

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...  

Ejemplo:

donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus

TIPOS DE MATRICES   Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:   Matrices cuadradas   Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ´ n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.   Ejemplo:  Sean las matrices     Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.   Matriz identidad   Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann.  La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.   La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,   A· I = I ·A = A.   Matrices triangulares   Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.     Matrices diagonales   Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ..., dnn  ). Por ejemplo,      son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por     diag(3,-1,7)  diag(4,-3)  y  diag(2,6,0,-1).

TRASPUESTA DE UNA MATRIZ  La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota porAT.   Así, la traspuesta de   En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m ´ n, entonces AT =  es la matriz n ´ m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:   1.  (A + B)T = AT + BT. 2.  (AT)T = A. 3.  (kA)T = kAT (si k es un escalar). 4.  (AB)T = BTAT. Matrices simétricas   Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT = -A.   Ejemplo:   Consideremos las siguientes matrices:    Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica. Para B  los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica. Matrices ortogonales   Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonalA es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.   Consideremos una matriz 3 ´ 3 arbitraria: Si A es ortogonal, entonces: Matrices normales   Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.   Ejemplo:       Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal