EJERCICIOS CON MATRICES

EJERCICIOS CON MATRICES  Sean a) ¿Qué clase de matrices son? b) Calcular:              - A  - B + C.                A + B  - C.              3A + C/2.   c) Calcular:                 (A · B) /C.   d) Calcular la inversa de A (A-1) y comprobar el resultado. Resolución:   a) Las tres matrices son cuadradas y de orden tres. A su vez, B es una matriz triangular, ya que todas las entradas debajo de la diagonal principal son ceros, y C es antisimétrica porque los elementos simétricos son opuestos entre sí. b)               c)    Puesto que (A × B) /C = A × B × C-1, calcularemos primero la inversa de C y luego haremos el producto.    · Dividimos la primera fila entre -6, la segunda entre 3 y la tercera entre -3 para que en la mitad izquierda quede la matriz identidad, · Por lo tanto, la matriz inversa de C es: · A continuación, se calcula el producto de las matrices A y B, · Por último, calculamos (A×B)×C-1.    =  · Sacando factor común 1/3, el resultado puede escribirse como:   d)    Primero se construye la matriz M = (AI) y luego se va desarrollando por Gauss. Así pues:      · Se simplifica un poco para que las operaciones no sean tan costosas, dividiendo la tercera fila entre cuatro. De este modo, se tiene   .   Se vuelve a simplificar, dividiendo la primera fila entre dos y la segunda entre cuatro, .   · Puesto que ya ha quedado una matriz diagonal en la mitad izquierda de M, se procede a transformar esta mitad izquierda en una matriz identidad, dividiendo la primera fila entre -3042, la segunda entre -78 y la tercera entre 39,   Así pues, la matriz que ha quedado en la mitad derecha es precisamente la matriz identidad, que sacando factor común 1/78 se puede escribir como:     · Para comprobar el resultado, la matriz inversa de A o A-1, tiene que cumplir AA-1 = I. Procedamos a la comprobación:

MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES La matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es la siguiente: Cada fila de M corresponde a una ecuación del sistema y cada columna a los coeficientes de una incógnita, excepto la última, que corresponde a las constantes del sistema.   Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada, específicamente, reduciéndola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss.   Método de Gauss   Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se aplica el método de Gauss. Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo: Sea el sistema,    su matriz ampliada asociada es   Ahora resolvemos por el método de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de la x, la segunda a los de la y, la tercera a los de la z y la cuarta a los términos independientes:        De este modo, el sistema tiene la solución única   x = 2, y = -1, z = 3. La resolución de sistemas de ecuaciones lineales por matrices, aplicando el método de Gauss u otros, es una de las múltiples aplicaciones que tienen éstas.   Ejercicio:   Hallar el valor de x, y, z, t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices:                                a) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:       La tercera fila se suprime, puesto que es múltiplo de la segunda y resultaría una fila nula. Así, el sistema queda formado por dos ecuaciones con cuatro incógnitas:      La solución del sistema es compatible e indeterminado, esto es, tiene infinitas soluciones.   x = -9 - y + 10t z = 7t - 7   ó   (- 9 - y + 10t, y, 7t - 7, t). Dependiendo de qué valores se escojan para y y t, salen distintos resultados. Así, para y = t = 0 tendremos la solución del sistema x = -9, y = 0, z = -7, t = 0.   b) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:          No hay necesidad de continuar calculando nada más, puesto que la matriz escalonada ya nos indica que el sistema es incompatible (SI), es decir, que no tiene solución. Específicamente, la tercera fila de la matriz escalonada corresponde a la ecuación   0x + 0y + 0z + 0t = -5 obteniendo como resultado  0 = -5,  que es absurdo. Por lo tanto, decimos que no tiene solución.