Determinantes

DETERMINANTES   A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), | A | o      Una tabla ordenada n ´ n de escalares situada entre dos líneas verticales, llamada determinante de orden n, no es una matriz. La función determinante apareció por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtención de éstas.   DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS   Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue:                   = a11      Así, el determinante de una matriz 1 ´ 1 A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det (A) = |a11| = a11. Ejemplos:   a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos det (24) = 24, det(-3) = -3, det (3x+5) = 3x+5. b)    DETERMINANTES DE ORDEN TRES   Consideremos una matriz 3 ´ 3 arbitraria A = (ai j ). El determinante de A se define como sigue:    a12a21a33 - a32a23a11                                                                                Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).   Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos:   Ejemplo:   Calcular el valor del determinante: = 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63 El determinante de la matriz 3 ´ 3 A = (ai j ) puede reescribirse como: det (A) = a11(a22a33 – a23a32) – a12(a21a33 – a23a31) + a13(a21a32 – a22a31) =    que es una combinación lineal de tres determinantes de orden dos, cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada. Esta combinación lineal puede indicarse de la forma siguiente:      Nótese que cada matriz 2 ´ 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente. Ejemplo:   Para demostrar que la propiedad anterior se cumple, trabajaremos con :                                                                                               = 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES   Las propiedades básicas del determinante son las siguientes: 1. El determinante de una matriz A y el de su traspuesta AT son iguales, es decir,    2. Sea A una matriz cuadrada,      ·  Si A posee dos filas (columnas) iguales, necesariamente = 0.      ·  Si A es triangular, esto es, A sólo tiene ceros por encima o por debajo de la diagonal principal, entonces es igual al producto de los elementos de la diagonal. 3. Supongamos que B se ha obtenido de A mediante una operación elemental entre filas o columnas,     ·  Si se han intercambiado dos filas (columnas) de A, |B| = - |A|.     ·  Si se ha sumado un múltiplo de una fila (columna) a otra, entonces |B| = |A|.      ·  Si se ha multiplicado una fila (columna) de A por un escalar k, |B| = k|A|.   4. Sea A cualquier matriz n-cuadrada, son equivalentes los siguientes principios:     ·  A es invertible, es decir, A tiene inversa A-1.   · AX = 0 tiene solamente la solución trivial.   · El determinante de A no es nulo: |A| ¹ 0. 5. El determinante es una función multiplicativa. Es decir, el determinante del       producto de matrices A y B es el producto de los determinantes: |AB| = |A| |B|. 6. Supongamos que A y B son matrices similares, entonces: |A| = |B|.

DETERMINANTES DE ORDEN ARBITRARIO   Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n ´ n (siendo n un número par). Para calcular el det (A) se procede de la siguiente manera:   Los signos se van alternando según la posición que ocupen las entradas del determinante. Es decir:      Ejemplo:    Si observamos la matriz, podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros. Así pues, si cogemos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante, nos ahorraremos calcular dos determinantes, ya que el producto de un determinante por cero es cero.       += -1(-35) + 3(35) = 35 + 105 = 140.

EJERCICIOS CON DETERMINANTES  Calcular los siguientes determinantes:             Soluciones:                                  = 2(-6-24+16+2)+ 5(-4-24+6)-1(4+12-16-3) = -24-110+3 = -131.      = 1·(16+0+24-(-4)-(-30)-0) -2·(-128-2+30-(-40)-12-(-16)) = 74-2·(-56) = = 74+112 = 186.

ADJUNTO DE UNA MATRIZ   Consideremos una matriz n-cuadrada A = (ai j ) sobre un cuerpo K. El adjunto de A, denotado por adj A, es la traspuesta de la matriz de cofactores de A:   Ejemplo:     Los cofactores de los nueve elementos de A son: La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A: · Aplicación del adjunto para hallar la matriz inversa   Para toda matriz cuadrada A, A·(adj A) = (adj A) · A = |A|I   De este modo, si |A| ¹ 0,   Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro método la inversa de una matriz.   Ejemplo: Consideremos la matriz y el det A:   Así pues, aplicando la propiedad anterior:                            Ejercicio:  Calcular, por la propiedad anterior, la inversa de las siguientes matrices:   a)    b) a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A:   El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B, así pues, los cofactores de los cuatro elementos de B son:  B11 =  5     B12 = -2  B21 = 1     B22= 3   y el adjunto de B, denotado por adj B, será   b) Empezaremos por hallar el det A,   Los cofactores de los nueve elementos de A son:        La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A: Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1: